・力線の連続の式

　力線の連続の式は、力線に関する保存則から得られる。つまり、ある（微小）領域にお
ける力線の本数が増加するためには、その分だけ領域の外から力線が入ってこなければな
らない。また、力線の本数が減少するためには、その分だけ領域の外へ力線が出て行かな
ければならない。力線の本数は電磁場の強さを表すのだから、電磁場の増減は、力線の出
入りによって説明されることになる。そこで、このことを数式で表してみよう。
　下図のような直方体の微小領域ＡＢＣＤＥＦＧＨを考える。



ちなみに、Ａ（ｘ、ｙ、ｚ）とすると、Ｂ（ｘ＋ｄｘ、ｙ、ｚ）、Ｄ（ｘ、ｙ＋ｄｙ、ｚ）、
Ｅ（ｘ、ｙ、ｚ＋ｄｚ）である。
　最初に、Ｚ方向の電気力線について考える。そして、まず、この電気力線がｘ方向にの
み運動することを考えよう。ＡＤＨＥから出入りする電気力線の数（電界）Ｅｚは、電気
力線の速度をｖｅx(x)とすれば、

　　Ｅｚ(x)・ｖｅx(x)・ｄｙ・ｄｔ

　同様に、面ＢＣＧＦから出入りする電気力線の数は、

　　Ｅｚ(x+dx)・ｖｅx(x+dx)・ｄｙ・ｄｔ

　したがって、Ｅｚの変位をｄＥｚとすると、

　　ｄＥｚ(x)・ｄｘ・ｄｙ ＝ Ｅｚ(x)・ｖｅx(x)・ｄｙ・ｄｔ
　　　　　　　　　　　　　　− Ｅｚ(x+dx)・ｖｅx(x+dx)・ｄｙ・ｄｔ

よって、

　　（ｄＥｚ(x)／ｄｔ）・ｄｘ ＝ Ｅｚ(x)・ｖｅx(x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　− Ｅｚ(x+dx)・ｖｅx(x+dx)

ここで、

	Ｅｚ(x+dx) ≒ Ｅｚ(x)＋（∂Ｅｚ(x)／∂ｘ）・ｄｘ

	ｖｅx(x+dx) ≒ ｖｅx(x)＋（∂ｖｅx(x)／∂ｘ）・ｄｘ

なる関係を利用して、高次の微小量を無視して展開し、整理すると、

　　（ｄＥｚ／ｄｔ）・ｄｘ ＝ −（∂Ｅｚ／∂ｘ）・ｖｅx・ｄｘ
　　　　　　　　　　　　　　　−Ｅｚ・（∂ｖｅx／∂ｘ）・ｄｘ

∴　（ｄＥｚ／ｄｔ） ＝ −（∂Ｅｚ／∂ｘ）・ｖｅx
　　　　　　　　　　　　　　　−Ｅｚ・（∂ｖｅx／∂ｘ）

∴　ｄＥｚ／ｄｔ ＝ −｛∂（Ｅｚ・ｖｅx）／∂ｘ｝

この式から、　

∴　∂Ｅｚ／∂ｔ ＝ −｛∂（Ｅｚ・ｖｅx）／∂ｘ｝

同じようにして、この電気力線がｙ方向のみに運動するときは、

　　∂Ｅｚ／∂ｔ ＝ −｛∂（Ｅｚ・ｖｅy）／∂ｙ｝

となる。したがって、ｘ方向とｙ方向の両方の運動を考えるならば、

∴　∂Ｅｚ／∂ｔ ＝ −｛∂（Ｅｚ・ｖｅx）／∂ｘ｝−｛∂（Ｅｚ・ｖｅy）／∂ｙ｝

となる。これがｚ方向の電気力線の連続の式である。

同様して、Ｅｘ、Ｅｙ、Ｈｘ、Ｈｙ、Ｈｚの式も求まる。それらを整理すると、

　　∂Ｅｘ／∂ｔ ＝ −｛∂（Ｅｘ・ｖｅy）／∂ｙ｝−｛∂（Ｅｘ・ｖｅz）／∂ｚ｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４・１）

　　∂Ｅｙ／∂ｔ ＝ −｛∂（Ｅｙ・ｖｅz）／∂ｚ｝−｛∂（Ｅｙ・ｖｅx）／∂ｘ｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４・２）

　　∂Ｅｚ／∂ｔ ＝ −｛∂（Ｅｚ・ｖｅx）／∂ｘ｝−｛∂（Ｅｚ・ｖｅy）／∂ｙ｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４・３）

　　∂Ｈｘ／∂ｔ ＝ −｛∂（Ｈｘ・ｖhy）／∂ｙ｝−｛∂（Ｈｘ・ｖhz）／∂ｚ｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４・４）

　　∂Ｈｙ／∂ｔ ＝ −｛∂（Ｈｙ・ｖhz）／∂ｚ｝−｛∂（Ｈｙ・ｖhx）／∂ｘ｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４・５）

　　∂Ｈｚ／∂ｔ ＝ −｛∂（Ｈｚ・ｖhx）／∂ｘ｝−｛∂（Ｈｚ・ｖhy）／∂ｙ｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４・６）

以上の６本の式が、力線の連続の式である。

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